Zwergische Zahlen und Rechenkunst
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Schmiedelied der Zwerge | ▻ |
Zwergische Zahlen und Rechenkunst
Eine erklärende Abhandlung allgemeiner Mathematik
Am Anfang waren die acht Gründerväter. Einer von ihnen war der Verdammte. Es blieben sieben, welche die Geschicke der Zwerge leiteten und die Reichtümer der Erde sammelten.
777 Jahre nach der Besiedlung des Amboß-Gebirges, so sagt die Legende, schickte Pyrdacor die Elementargeister gegen die Zwerge. Wie man sieht, spielt die Zahl „sieben“ bei den Zwergen eine überaus große Rolle.
So ist es kaum verwunderlich, daß die Angroschim diese Zahl als so vollkommen und heilig ansehen, daß sie für größere Zahlen als „sieben“ keine weiteren Schriftzeichen mehr verwenden. Mit anderen Worten, die Zwerge kennen die Ziffern „8“ und „9“ nicht — oder wollen sie nicht kennen — ihre Zeichen reichen lediglich von „1“ bis „7“.
Im Übrigens sind diese Zeichen rein zwergische Erfindungen, waren die Angroschim doch das erste Volk auf Aventurien, welche sich überhaupt mit Zahlen beschäftigten. Auch erfanden sie die „0“ und erkannten diese als überaus praktisch. Die Menschen, die auf Aventurien lebten oder sich später hinzugesellten, übernahmen ausnahmslos diese Schriftzeichen, malten sie vorher doch noch Kerben in Äste oder auf Tonscheiben, um Dinge zu zählen oder um Abgaben zu berechnen.
Da die Zeichen der Zwerge wie erwähnt nur von „1“ bis „7“ reichen, rechnen die Angroschim in einem sogenannten „oktalen Zahlensystem“. Die Zahl „8“, deren Ziffer sie ja nicht verwenden, wird dementsprechend mit den vorhandenen Ziffern ausgedrückt, nämlich „10“.
Wie ist dies zu verstehen? Nun, schauen wir uns einmal das Zahlensystem der Menschen genauer an, so erkennen wir, daß Zahlennotationen in einer ganz bestimmten Weise interpretiert werden. So drückt für die Menschen, die ja das dezimale Zahlensystem verwenden die Zahl „21“ folgende Addition aus:
2 * 10^1 + 1 * 10^0 = 20 + 1 = 21.
Die Notation beruht also darauf, in Potenzen von „10“ zu rechnen, weshalb das System auch „Dezimal“-System, also „Zehner“-System heißt. Im „oktalen System“ rechnet zwerg also in Potenzen von „8“ und somit erklärt sich, weshalb er die acht auch als „10“ hinschreibt, bedeutet dies doch
1 * 8^1 + 0 * 8^0 = 8 + 0 = 8.
Eine menschliche „12“ würde zusammengesetzt aus
1 * 8^1 + 4 * 8^0 = 8 + 4 = 12
und sähe zwergisch hingegen geschrieben wie eine menschliche „14“ aus.
Um nun im Verlaufe dieses Textes den Leser nicht weiter zu verwirren, führen wir eine deutliche Unterscheidung ein zwischen dem menschlichen Zehnersystem und dem zwergischen Achtersystem. So sollen hier nach dem menschlichen System notierte Zahlen mit Klammern und einer kleinen „10“ geschrieben werden, wohingegen zwergische Zahlen eine kleine „8“ an die Klammern bekommen. Auf diese Weise läßt sich also die menschliche (10)10 von der zwergischen (10)8 gut unterscheiden.
Nebenbei erwähnt sind die beiden Ziffern „8“ und „9“ auch nicht menschlichen, sondern elfischen Ursprungs. Die Elfen jedoch rechnen im Zwölfersystem, kennen sie doch noch eigene Zeichen für die (10)10 und die (11)10. Aber diese Geschichte gehört ein andermal erzählt.
Daß es ohne eine deutliche Unterscheidung auf kurz oder lang zu Mißverständnissen und Verwechslungen kommt, hat schon die Vergangenheit häufig bewiesen: Dadurch, daß die Angroschim Zahlen und insbesondere Preise für zwergische Waren „oktal“ notieren, erscheinen sie den Menschen größer, als sie tatsächlich sind (z.B. die (8)10 wird bei Zwergen als (10)8 geschrieben) und dies trug mit dazu bei den Angroschim ein gieriges Wesen zu verleihen. Die Zwerge hingegen merkten bei den ersten Verhandlungen mit den „großen Leuten“, daß die Menschen zähneknirschend bereit waren, mehr zu zahlen, als sie überhaupt verlangten und hielten natürlich den Mund. Erst als einige menschliche Händler bemerkten, daß die Ziffern „8“ und „9“ niemals in den Preisen auftauchten, begannen sie zu ahnen, wo der Hase begraben lag. Doch dann war es schon längst zu spät, den Zwergen ihren Ruf als Wucherer abzuerkennen.
Um solchen Irrungen zuvor zu kommen, sei dem leser ein wenig Hilfestellung gegeben, wie man auf relativ einfache Art und Weise zwischen beiden Zahlensystemen umrechnet. Beginnen wir mit der Umrechnung von zwergischen Zahlen zu menschlichen. Dazu zeichne sich mensch eine kleine Tabelle, welche in der ersten Zeile die Potenzen von „8“ (also (8)10) beginnend mit der Potenz „0“) enthalte. Die Reihenfolge dieser Zahlenwerte sollte der in untenstehender Tabelle entsprechen, um oktal notierte Zahlen schneller berechnen zu können.
Sodann trage mensch nun die zwergische Zahl entsprechend besagter Tabelle ein. Übereinanderstehende Zahlen müssen nun einzeln multipliziert und danach zusammen aufaddiert werden, um die menschliche Notation zu erhalten. Ein Beispiel: Ritter Alrik vom Fluß geliebt es, in Angbar eine neue, prunkvolle Ritterrüstung zu kaufen, vornehmlich bei einem zwergischen Schmied. Der Schmied erläutert ihm, daß seine gewünschte Maßanfertigung 1041 zwergische Goldmünzen (also (1041)8) kosten wird.
Ritter Alrik beginnt also, um den Wert ins menschliche System umzurechnen, folgendes zu zeichnen. Zunächst erstellt er eine Tabelle und fügt in die erste Zeile die Potenzen von „8“ ein, also
8^0 = 1
8^1 = 8
8^2 = 64
usw.
In die zweite Zeile trägt er die vom Schmied geforderte Summe für seine Rüstung ein (1041). In die nächste Zeile kommen dann die Produkte der einzelnen übereinanderstehenden Zahlen (1*512, 0*64, 4*8, 1*1). Zuletzt addiert er die einzelnen Produkte und weiß nun genau, wieviel Gold er dem Schmied schuldet, nämlich (545)10. (Auf gleiche Weise läßt sich übrigens auch das Jubiläumsdatum (777)8 ins Dezimalsystem umrechnen und erhält (511)10.)
| Ritter Alriks Tabelle | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Potenzen von „8“ | 4064 | 512 | 64 | 8 | 1 |
| zwergisch notierte Zahl | 1 | 0 | 4 | 1 | |
| Produkte der Zahlen | 512 | 0 | 32 | 1 | |
| Summe der Produkte | 545 | ||||
Die Umrechnung vom menschlichen System ins Zwergische ist ein wenig aufwendiger, jedoch ebenfalls nicht schwer. Gesetz den Fall, daß o.g. Ritter Alrik nun zu feilschen beginnt und dem Angroschim nun statt der (545)10 Dukaten nur (530)10 Dukaten zu zahlen bereit ist, so muß der Schmied nun seinerseits umrechnen, um sich die Zahl in seiner gewohnten Notation zu verdeutlichen. Dazu geht er wie folgt vor: Er teilt die Zahl (530)10 durch acht, wobei er darauf achtet, ohne Nachkommastellen zu rechnen, es bleibt also immer ein Rest von „1“ bis „7“ übrig. In unserem Fall ist 530 / 8 = 66 Rest 2. Den „Rest“ notiert Wohlgeboren Alrik sich schon einmal als letzte Ziffer seiner umgerechneten Zahl.
Nun ist die „66“ aber noch im dezimalen System „kodiert“ und muß ebenfalls noch umgerechnet werden. Also teilt er wiederum durch „8“ und erhält: 66 / 8 = 8 Rest 2. Den Rest notiert er wieder, diesmal als vorletzte Ziffer seiner Zahl. Auch die übrig gebliebene 8 ist noch dezimal kodiert. Also rechnet der Schmied wieder, diesmal 8 / 8 = 1 Rest 0. Auch dieser Rest („0“) wird vorne an die Zahl angefügt. Die „1“ im Ergebnis ist auch im oktalen System eine „1“ und somit ist der Schmied mit Rechnen fertig
Er schreibt also die Zahl hin, nämlich (1022)8. Er weiß also, daß der Ritter Alrik (17)8 (wegen (1041)8 minus (1022)8 gleich (17)8) zwergische Münzen weniger zu zahlen bereit ist. Anhand dieses Beispiels sollte es ein Leichtes sein, auch andere Zahlen ins Zwergische zu übersetzen. Natürlich lassen sich solche Umrechnungshilfen auch für Nachkommastellen und Brüche aufstellen, doch der Leser mag dies entweder selbst enträtseln oder sich beim Autor dieser Abhandlung melden. Hier jedoch wollen wir uns nun ein wenig mit der Aussprache der Zahlen der Angroschim beschäftigen, denn Zahlen und Ziffern werden ja nicht nur geschrieben, sondern auch gesprochen. Im Rogolan werden die Ziffern „0“ bis „7“ folgendermaßen aufgesagt:
| 0 | 0 | nul |
| 1 | 1 | nas |
| 2 | 2 | zwas |
| 3 | 3 | durs |
| 4 | 4 | fyrs |
| 5 | 5 | funs |
| 6 | 6 | xas |
| 7 | 7 | shas |
Ab der (8)10 bzw. der (10)8 (selten auch uchas genannt in Anpassung an die Menschen; neuerdings hört man auch schon die Worte nuns für „neun“ und tend für zehn. Für acht und neun gibt es auch entsprechende Zahlzeichen — 8 bzw. 9) werden die einzelnen Ziffernwörter nur durch ein „und“ (zwergisch dun) miteinander verbunden.
Zu beachten ist noch, daß dun sich im Rogolan deutlich von doran (plus, mehr) absetzt, um Rechenaufgaben von eigentlichen Zahlen unterscheiden zu können. So etwas wie
4 + 5 = 9
wird also folgendermaßen gesprochen:
fyrs doran funs darimunt nas-dun-nas
= (4)8 plus (5)8 ist (11)8
und nicht, wie Rogolan-Lehrlinge häufig sagen_
fyrs-dun-funs darimut nas-dun-nas
= (45)8 ist (11)8,
was natürlich wirklicher Blödsinn ist.
| zwergisch | Aussprache | menschlich |
|---|---|---|
| (10)8 | nas-dun-nul, auch uchas | (8)10 |
| (11)8 | nas-dun-nas, auch nuns | (9)10 |
| (12)8 | nas-dun-zwas, auch tend | (10)10 |
| (20)8 | zwas-dun-nul | (16)10 |
| (30)8 | durs-dun-nul | (24)10 |
| (45)8 | fyrs-dun-funs | (37)10 |
| (77)8 | shas-dun-shas | (63)10 |
| (100)8 | nas-dun-nul-dun-nul | (64)10 |
| (200)8 | zwas-dun-nul-dun-nul | (128)10 |
| Die Bindestriche werden normalerweise nicht geschrieben. | ||
Abschließend zu dieser kleinen Exkursion in zwergische Mathematik sei noch erwähnt, daß die Angroschim ein überaus sensibles Zahlengefühl entwickelt haben. Sie können mit Zahlen so gut umgehen und rechnen, daß sie sich nicht umsonst den Ruf exzellenter Baumeister und Rechenkünstler erworben haben. Vielleicht mag dies damit zusammenhängen, daß Zwerge sich jede noch so große oder „krumme“ Zahl wirklich vorstellen und begreifen können, was das Handhaben mit exakten Zahlen in der Baukunst natürlich extrem vereinfacht.
So ist die Zahl (23056,567)8 (sprich: zwas-dun-durs-dun-nul-dun-funs-dun-xas-lorn-funs-dun-xas-dun-shas) für Zwerge genauso einleuchtend und selbstverständlich wie für Menschen die Zahl (1)10 oder (2)10. Anbei sind noch einige wichtige Vokabeln, die man für das Rechnen zusammen mit Zwergen gut gebrauchen kann (nebenstehend!).
| Zeichen | Garethi | Rogolan |
|---|---|---|
| , | Komma | lorn |
| + | plus | doran |
| - | minus | nabran |
| * | mal | wrundarn |
| / | geteilt | lorndarn |
| = | ist/gleich | darimut |
| 1/2 | ein Halb | zwaslornrosch |
| 1/8 | ein Achtel | nasdunnallorndrosch |
Der Autor möchte außerdem darauf aufmerksam machen, daß gerade an der Erschaffung eines zwergischen Wörterbuches gearbeitet wird. Ein jeder Zwerg ist aufgerufen, die Kenntnisse seiner Sprache weiterzuleiten. Aber auch jene Menschen und Elfen, welche zwergische Inschriften, Bücher, Gravierungen, Einmeißelungen oder sonstige zwergische Schriftstücke besitzen oder gelesen haben, mögen sich an den Autor dieses Schriftstückes wenden. Sachdienliche Hinweise werden gerne angenommen.
Aedin Gwynn von und zu Drachenfels
Am Zwergenbrück 77